Ejercicio nº 1.-

a) Opera y simplifica:

b) Calcula el cociente y el resto de la división:

Solución:

Cociente = 2x - 3

Resto = -2x +5

Ejercicio nº 2.-

a) Calcula el valor numérico de P(x) = x³ - 3x² + 4x - 2 para x = 1.

b) La división P(x) : (x - 1 ), ¿es exacta?

Solución:

a) P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0

b) Sí. Por el teorema del resto sabemos que el resto de la división P(x) : (x -1) coincide con P(1). Como P(1) = 0, la división es exacta.

Ejercicio nº 3.-

Descompón en factores el siguiente polinomio y di cuáles son sus raíces:

Solución:

Raíces: x = 1, x = 3

Ejercicio nº 4.-

Simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 5.-

Opera y simplifica el resultado:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:

Solución:

Cambio: x² = z ® x⁴ = z²

z² – 5z –36 = 0

Dos soluciones: x₁ = -3, x₂ = 3

Ejercicio nº 7.-

Encuentra las soluciones de las ecuaciones siguientes:

Solución:

Comprobación:

Ejercicio nº 8.-

Descompón en factores y resuelve:

Solución:

Sacamos factor común:

Por tanto las soluciones de la ecuación son:

Ejercicio nº 9.-

Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey?

Solución:

Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos.

Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85x.

El que está rebajado un 20% costará 0,8x.

Por tanto, el total que ha pagado es:

3 · 0,85x + 0,8x + x = 108,75

2,55x +0,8x + x =108,75

4,35x = 108,75

Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros. El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha tenido que pagar 21,25 euros.

Ejercicio nº 10.-

Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones:

Solución:

– Resolvemos analíticamente el sistema:

– Interpretación gráfica:

Ejercicio nº 11.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

La única solución del sistema es x = 1, y = 4.

Ejercicio nº 12.-

Solución:

Llamamos x e y a los números que buscamos.

Así:

Los números son el 4 y el 8.

Ejercicio nº 13.-

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

Solución:

Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución.

Ejercicio nº 14.-

Resuelve gráficamente:

Solución:

-x + y ³ -2 es lo mismo que -x + y + 2 ³ 0.

Si sustituimos el punto (0, 0) en las dos desigualdades, vemos que se cumplen:

Por tanto, las soluciones del sistema corresponden al recinto coloreado (incluyendo las dos semirrectas que lo limitan):

Ejercicio nº 15.-

Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son?

Solución:

Si fueran x + 2 amigos ( dos amigos más), cada uno tendría que pagar:

Resolvemos la ecuación:

Son, por tanto, 8 amigos.