49 Halla el lugar geométrico de
los puntos P (x, y) tales que el producto de las
pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (–2, 1) y B (2, –1) sea igual a 1. ¿Qué
figura obtienes? Represéntala.
Si P es el punto de
coordenadas (x,y) de los datos
del enunciado obtenemos:
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La pendiente de la recta
que une P con A es: |
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La pendiente de la recta
que une P con B es: |
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El producto de las
pendientes ha de ser igual a 1, es decir: |
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Efectuando las operaciones
en la ecuación que hemos planteado,
Es una hipérbola de eje
horizontal, en la que a = b = 
Calculemos el valor de c,
en una hipérbola c2 = a2 + b2
|
Los focos son los puntos |
|
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La pendiente de las asíntotas
será |
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Por lo tanto las asíntotas
son las rectas y = x e y
= - x
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La excentricidad es: |
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La representación gráfica es: |
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37 Una circunferencia del plano
pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el centro sobre la recta x + 2y = 3. Halla su centro y su
radio.
Si el centro de la circunferencia C(x,y) está sobre la recta x + 2 y = 3 → x = 3 – 2 y; entonces es de
la forma C (3 – 2y, y).
• La distancia del centro a
los dos puntos dados, A(1, 3) y B(3, 5)
es la misma. Además, esta distancia es el radio, r, de la
circunferencia:
r
= dist (C,
A) = dist (C, B)
Como las dos distancias deben ser iguales,
El centro de la circunferencia es C (9,
–3).
El radio es,
34 Halla la ecuación de la elipse
que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (–4, 0).
Como los focos de la elipse
están sobre el eje OX y el punto (0,0), que es el punto medio de los dos focos,
es el centro de la elipse, la ecuación de la elipse es:
Como la elipse pasa por (3,
1)
Tenemos una ecuación pero
dos incógnitas, a y b, necesitamos otra ecuación.
En una elipse se cumple a2
= b2 + c2 y sabemos
que c = 4 → a2
= b2 + 16
Por lo tanto el sistema a
resolver será:
Sustituyendo el valor de a2
en la primera ecuación:
9 b2 + b2 + 16 = (b2 + 16) b2
10 b2 + 16 = b4
+ 16 b2
b4 + 6 b2 – 16 = 0
que es una ecuación bicuadrada
Como a2 =
b2 + 16 → a2 = 2 + 16 →
a2 = 18
|
La
ecuación de la elipse será: |
|
42 Halla la ecuación de la
hipérbola que tiene por focos los puntos F (–3, 0) y F' (3, 0) y que pasa por el punto P(8,
5 
).
Este ejercicio podríamos resolverlo siguiendo un
proceso similar al utilizado en el ejercicio 34, lo haremos de otra forma.
Como los focos de la hipérbola
están sobre el eje OX y el punto (0,0) es el punto medio de los dos focos, la
ecuación de la hipérbola es:
Hallamos la constante de la hipérbola: |dist (P, F) – dist (P, F' )| = 2a
De las coordenadas de los focos sabemos que c = 3.
En una hipérbola se cumple que c2 = a2
+ b2, por lo tanto 32 = 22 + b2
9 = 4 + b2, → b2 = 5
La ecuación es:
44 La parábola y2
– 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto
(0, 2). Encuentra su directriz.
Arreglamos
la ecuación de la parábola para ponerla en su forma reducida,
y2 – 4y = 6 x + 5
y2 – 4y + 4 = 6 x + 5 + 4
(y – 2)2 = 6 x + 9
|
El vértice de la parábola es V |
|
El foco y el vértice de la parábola tienen la misma
ordenada, luego la directriz será una recta vertical, x = a, de forma que
La directriz es x = –3.
32 Identifica las siguientes
cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas:
|
a) 4x2 + 9y2 = 36 |
b) 16x2 – 9y2 = 144 |
c) 9x2 + 9y2 = 25 |
|
d) x2 – 4y2 = 16 |
e) y2 = 14x |
f ) 25x2 + 144y2 = 900 |
a) 4x2
+ 9y2
= 36
Dividimos
ambos miembros de la igualdad por 36,
Es
la ecuación reducida de una elipse de eje mayor horizontal.
a2 = 9 →
a = 3 ;
b2 = 4 → b = 2
En una elipse se cumple a2
= b2 + c2, en este caso: 9 = 4 + c2 →
c2 = 5 → c = 
|
Los
elementos de esta elipse son: |
|
|
Centro
( 0 , 0 ) |
|
|
Focos ( |
|
|
Semieje
mayor a = 3 |
|
|
Semieje
menor b = 2 |
|
|
|
, 0 )
b) 16x2
– 9y2
= 144
Dividimos
ambos miembros de la igualdad por 144,
Es
la ecuación reducida de una hipérbola de eje horizontal.
a2 = 9 →
a = 3 ;
b2 = 16 → b = 4
En una hipérbola se cumple c2
= a2 + b2, en este caso: c2 = 9 + 16 → c2
= 25 → c =
5
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Los
elementos de esta hipérbola son: |
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|||
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Centro
( 0 , 0 ) |
||||
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Focos (-5, 0 )
y (5, 0 ) |
||||
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Semieje
mayor a = 3 |
||||
|
Pendiente
de las asíntotas |
|
|||
|
Ecuaciones
de las asíntotas: |
||||
|
|
||||
|
Excentricidad: |
|
|
||
|
|
||||
c) 9x2
+ 9y2
= 25
Dividimos
ambos miembros de la igualdad por 9,
|
Es
la ecuación de una circunferencia de centro ( 0 , 0 ) y radio |
|
d) x2
– 4y2
= 16
Dividimos
ambos miembros de la igualdad por 16,
Es
la ecuación reducida de una hipérbola de eje horizontal.
a2 = 16 →
a = 4 ;
b2 = 4 → b = 2
En una hipérbola se cumple
c2 = a2 + b2, en este caso: c2 = 16 + 4 →
c2 = 20 →
c = 
|
Los
elementos de esta hipérbola son: |
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|||
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Centro
( 0 , 0 ) |
||||
|
Focos (- |
||||
|
Semieje
mayor a = 4 |
||||
|
Pendiente de las asíntotas |
|
|||
|
Ecuaciones
de las asíntotas: |
||||
|
|
||||
|
Excentricidad: |
|
|
||
|
|
||||
e) y2
= 14x
Es
la ecuación de una parábola,
Los elementos de esta parábola son: vértice ( 0 , 0 ), foco ( 3´5 , 0 ) y directriz x = - 3´5
f) 25x2
+ 144y2
= 900
Dividimos
ambos miembros de la igualdad por 900,
Es
la ecuación reducida de una elipse de eje mayor horizontal.
a2 = 36 →
a = 6 ;
b2 = 25/4
→ b = 5/2
En una elipse se cumple a2
= b2 + c2, en este caso:
|
Los
elementos de esta elipse son: |
|
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Centro
( 0 , 0 ) |
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|
|
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|
Semieje
mayor a = 6 |
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Semieje
menor b = 5/2 |
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