Matemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II Julio 2021
BAREMO
DEL EXAMEN:
Se
han de contestar tres problemas de entre los seis propuestos.
Cada problema se valorará de
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados. Está permitido el uso de regla. Las gráficas se harán con el
mismo color que el resto del examen.
Todas las respuestas han de estar debidamente
razonadas.
Problema 1. Una empresa
está especializada en la preparación de mezclas de café. Utilizando café
colombiano, brasileño y keniata, la empresa quiere comercializar paquetes de 1
kg con un coste de 8,50 € el paquete. El precio de un kilo de cada clase de
café es, respectivamente, de 10 €, 6 € y 8 €. Sabiendo que la cantidad de café
colombiano de la mezcla ha de ser el triple de la de café brasileño, calcula el
porcentaje de cada tipo de café que ha de utilizarse en la mezcla.
(Planteamiento correcto 5
puntos - Solución correcta 5 puntos)
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Problema 2.
Consideramos las matrices |
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a)
Calcula la
inversa de la matriz A – B. (3
puntos)
b)
Calcula la
matriz X de dimensión 2x3, que satisface la ecuación X A +
C = X B. (4 puntos)
c)
¿Es posible hacer
el producto B C? Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso
contrario, justifica el porqué. ¿Es posible hacer el producto C B?
Si la respuesta es afirmativa calcula dicho producto; en caso contrario,
justifica el porqué. (3 puntos)
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Problema 3.
Dada la función |
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, se pide: |
a)
Su dominio y los puntos
de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b)
Las asíntotas
horizontales y verticales, si existen. (2
puntos)
c)
Los intervalos de
crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d)
Los máximos y
mínimos locales. (2 puntos)
e)
La representación
gráfica de la función a partir de los resultados de los apartados anteriores. (2
puntos)
Problema 4. Una
empresa ha estimado que los ingresos y gastos mensuales (en euros) que genera
la fabricación de x unidades de un producto
vienen dados por las siguientes funciones:
a)
La empresa
considera rentable el producto si el beneficio que obtiene con él es mayor o
igual que 0. ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe fabricar la empresa
para que el producto sea rentable? (4 puntos)
b)
¿Cuál es el
número de unidades que debe fabricar la empresa para que el beneficio sea
máximo? ¿Cuál es el beneficio obtenido en este caso? (3
puntos)
c)
El próximo mes se
introducirá una nueva normativa que obligará a la empresa a fabricar al menos
100 unidades de este producto. ¿Cuál es el máximo beneficio que podrá obtener
la empresa tras la implantación de esta normativa? Justifica tu respuesta. (3
puntos)
Problema 5. En un sorteo, un jugador extrae dos bolas sin
reemplazamiento de una urna que contiene 2 bolas blancas, 3 bolas amarillas y 5
bolas negras. El jugador consigue el primer premio si las dos bolas extraídas
son blancas, consigue el segundo premio si las dos bolas extraídas son
amarillas y consigue el tercer premio si una de las dos bolas extraídas es
blanca y la otra no lo es. No hay más premios en el sorteo.
a)
Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el
primer o el segundo premio. (4 puntos)
b) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el
tercer premio. (3 puntos)
c)
Si un jugador nos dice que ha obtenido premio en el
sorteo, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido el tercer premio? (3
puntos)
Problema 6. Una determinada enfermedad afecta actualmente al 5%
de la población. El único test disponible para detectar la enfermedad tiene una
probabilidad del 99% de clasificar correctamente a los enfermos (probabilidad
de que el test dé positivo si la persona tiene la enfermedad), mientras que la
probabilidad de que el test dé negativo si la persona no está enferma es del
95%. Se pide:
a)
La probabilidad
de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el test. (2,5
puntos)
b)
La probabilidad
de que una persona esté sana si ha dado negativo en el test. (2,5
puntos)
c)
La probabilidad
de que el test dé el resultado correcto.
(2,5 puntos)
d)
Existen indicios
para creer que la enfermedad afecta únicamente a un 1% de la población. ¿Cuál
es la probabilidad de que una persona esté enferma si ha dado positivo en el
test en este caso? (2,5 puntos)