Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Junio 2004
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios propondrá
la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir tres de entre
los cuatro propuestos.
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Dadas las matrices
Calcular
la matriz X que verifica
AXB = 2C
PROBLEMA 2. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer
préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos de 14% y 7%,
respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a
préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe
estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno
de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.
PROBLEMA 3. Una multinacional ha estimado que anualmente sus
ingresos en euros vienen dados por la función I(x)=28x2+36.000x , mientras
que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x)=44x2+12.000x+700.000 , donde x
representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:
a)
La función que define el beneficio anual en euros.
b)
La cantidad de unidades que deben ser vendidas para
que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo.
c)
El beneficio máximo.
PROBLEMA 4. El 60% de las personas que visitaron un museo durante
el mes de mayo eran españoles. De éstos, el 40% eran menores de 20 años. En
cambio, de los que no eran españoles, tenían menos de 20 años el 30%. Calcular:
a)
La probabilidad de que un visitante elegido al azar
tenga menos de 20 años.
b)
Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de
que no sea español y tenga 20 años o más.
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Juan decide invertir una cantidad de 12.000 € en
bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A
el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A
se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su
valor original. Con resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de
432,50 €. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.
PROBLEMA 2. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo,
27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe
dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los
vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son
de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo
se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de
coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio.
PROBLEMA 3. La parte superior de una pared de 2 metros de base
tiene una forma parabólica determinada por la expresión -0,5x2+x+1 ,
donde x
mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared.
Calcular la superficie de dicha pared utilizando una integral.
PROBLEMA 4. Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora,
con un porcentaje de fallos de 1% y del 10%, respectivamente. Tenemos mezcladas
las piezas fabricadas en una hora y elegimos una pieza al azar. Calcular:
a)
La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa
fabricada en la máquina B.
b)
La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A,
si sabemos que es defectuosa.