Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Junio 2007
Características de
la prueba.
Se elegirá el
EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
|
PROBLEMA 1. Dada la matriz A = |
|
,
calcula A . At – 5 A-1,
siendo At y A-1 las matrices traspuesta e inversa |
de
A, respectivamente.
PROBLEMA 2. Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de
abono, A y B, a partir de dos materias primas M1 y M2.
Para fabricar 1 tonelada métrica de A hacen falta 500 kg de M1 y 750
kg de M2, mientras que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para fabricar 1
tonelada de B son 800 kg y 400kg, respectivamente. La empresa tiene contratado
un máximo de 10 toneladas de cada materia prima y vende a 1.000 € y 1.500 €
cada tonelada de abono de A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B
nunca llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada abono debe fabricar
para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos?
PROBLEMA 3. a) Estudia la continuidad de la función y = f(x)
en el intervalo [ – 4 , 2 ], siendo
b)
Calcular el área limitada por la gráfica de la función
y = f(x), las rectas x = – 3, x = 2 y el eje de abcisas.
PROBLEMA 4. Un test para detectar si una persona es portadora del
virus de la gripe aviar da positivos en el 96% de los paciente que la padecen y
da negativo en el 94% de los pacientes que no la padecen. Si una de cada ciento
cuarenta y cinco personas es portadora del virus y una persona se somete al
test, calcula:
a)
La probabilidad
de que el test dé positivo.
b)
La probabilidad
de que sea portadora del virus, si el resultado del test es positivo.
c)
La probabilidad
de que el test sea negativo y no sea portadora del virus.
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Los tres modelos existentes de una marca de
automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros, respectivamente. Un
concesionario ha ingresado 1.625.000 euros por la venta de automóviles de esta
marca. ¿Cuántos coches ha vendido de cada modelo si del más barato se vendieron
tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los
coches que cuestan 15.000 euros?
PROBLEMA 2. a) Representar gráficamente el conjunto de soluciones
del sistema determinado por las inecuaciones:
b)
Halla los
vértices de la región anterior.
c)
Calcula el punto
donde alcanza el mínimo la función
f(x,y) = 3 x – y en dicha región.
Determina dicho valor mínimo.
PROBLEMA 3. La función y = f(x) tiene las siguientes propiedades:
- Su dominio es la
recta real salvo los puntos –
1 y
1. Es continua en todo su dominio y corta al eje OX en el punto ( 2
, 0 ).
- Tiene una asíntota
horizontal en y = 0, con f(x) < 0
si x>2 y
f(x)>0 si x<2
- Tiene una asíntota
vertical en x = 1,
- Tiene una asíntota
vertical en x = – 1,
- Tiene un mínimo en (
4 , – 2 ) y otro en ( 0 , 3 ). No
tiene máximos.
a)
Representa gráficamente dicha función.
b)
Determina los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
PROBLEMA 4. La probabilidad de que haya un incidente en una fábrica
que dispone de alarma es 0´1. La probabilidad de que suene ésta si se ha
producido algún incidente es 0´97 y la probabilidad de que suene si no ha
sucedido ningún incidente es 0´02.
a)
Calcula la probabilidad de que no suene la alarma.
b)
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál
es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?