Matemáticas II Julio
2014
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Cada estudiante podrá disponer de
una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe
su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
|
a)
El valor del determinante de la matriz |
|
, (2
puntos) y la matriz S-1 , |
que es la matriz inversa de la matriz S. (2
puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una
matriz S sea o no nulo y la propiedad
de que esta matriz admita matriz inversa S-1 .
(1 punto).
|
b)
El determinante de la matriz |
|
,
sabiendo que T es una matriz
cuadrada de 3 filas y |
que 20 es el valor del determinante de dicha matriz T. (3
puntos).
|
c)
La solución a de la ecuación |
|
. (2 puntos). |
PROBLEMA A.2. Se dan los puntos
A = (1 , 5 , 7) y B
= (3 , – 1 , – 1). Se pide obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Las ecuaciones de los planos π1 y π2 que son perpendiculares a la recta r que
pasa por los puntos A y B, sabiendo que el plano π1 pasa por el punto A y el
plano π2 pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos
son los puntos A y B. (4 puntos distribuidos en 2 puntos por cada plano).
b) La distancia entre los planos π1 y π2 .
(2
puntos).
c)
Las ecuaciones de la recta r que pasa por los
puntos A y B, (2 puntos), y los puntos de la recta r que
están a distancia 3 del punto C = (1, 0, 1) . (2 puntos).
Problema A.3. Sea
f la función real definida por f (x) = x ex - 3 x .
Se pide la obtención razonada, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado, de:
a)
Los puntos de
corte de la curva y = f
(x) con el eje X. (2 puntos).
b)
El punto de
inflexión de la curva y = f
(x) ,
(2 puntos), así como la justificación razonada de que la función
f es creciente cuando x > 2 . (2 puntos).
c)
El área limitada
por el eje X y la curva y = f (x) , cuando 0 £ x £ ln3,
donde ln significa logaritmo neperiano. (4 puntos).
OPCIÓN B
|
PROBLEMA B.1. Se da el sistema de ecuaciones lineales |
|
,
donde |
α es un parámetro
real.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los valores del
parámetro α para los que el
sistema es incompatible. (3 puntos).
b)
Los valores del
parámetro α para los que el
sistema es compatible y determinado.
(3 puntos).
c)
Todas las
soluciones del sistema cuando α
= 2. (4 puntos).
|
PROBLEMA B.2. Se dan las rectas |
|
. |
Obtener razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Un vector director de cada recta (2 puntos) y
la posición relativa de las rectas r y s.
(2 puntos).
b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y
es paralelo a la recta r. (3 puntos).
c)
La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos).
Problema B.3. Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para
realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club que han reservado
su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será
800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye
en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han
reservado el billete.
Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El total que
cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y
80 pasajeros. (1 punto).
b)
El total que
cobra la empresa VR si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 £ x £ 20 .
(4 puntos).
c)
El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo
que cobra en total la empresa VR. (5 puntos)