Matemáticas II Junio 2005
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos. EN NINGÚN CASO SE PODRÁ ELEGIR
SIMULTÁNEAMENTE EL PROBLEMA 4.1 Y EL PROBLEMA 4.2
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Calcular los valores x1, x2, x3,
x4, y1, y2, y3, y4 que
satisfacen las siguientes ecuaciones:
(3,3 puntos)
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PROBLEMA 2. Se considera el plano π : y + z – 12 m = 0 (m
parámetro real) y la rectas |
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Sean
A, B y C los puntos de intersección de π con u,
v y w, respectivamente.
a)
Calcular las
coordenadas de A, B y C en función de m (1,8 puntos)
b)
Hallar los
valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a. (1,5
puntos)
PROBLEMA 3. Dadas las curvas
y = (x – 1)3 , y = 5 – x2 calcular razonadamente:
a)
Su punto de corte (1,1 puntos). b) El área encerrada por ellas y el eje OY (2,2 puntos).
PROBLEMA 4.1. Probar que el volumen de cualquier cono recto
inscrito en una esfera es menor que el 30% del volumen de la misma (3,3 puntos).
PROBLEMA 4.2. Cien alumnos prepararon un examen de matemáticas. Se
representa por x el número de problemas hecho por cada alumno en
la preparación y por y la calificación obtenida. Sabiendo que las
medias aritméticas de esas variables fueron: 
e 
, que el coeficiente de correlación entre esas variables fue
0,7 y que la desviación típica de la variable y fue el doble que la de la
variable x, se pide obtener, razonadamente:
a)
Las ecuaciones de las rectas de regresión de y sobre
x y
de x sobre y (2 puntos).
b)
La calificación que la adecuada recta de regresión
predice para un alumno que sólo hizo 6 problemas durante la preparación del
examen (1,3 puntos).
EJERCICIO B
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PROBLEMA 1. El sistema de ecuaciones lineales |
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depende
del parámetro real |
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Discutir para que valores de 
es incompatible,
compatible determinado y compatible indeterminado (2 puntos), y resolverlo en las casos compatibles (1,3
puntos).
PROBLEMA 2. Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7, 2, -3) y tales que las proyecciones perpendiculares del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y,z)=(0,4,1)+t(1,0,0) (3,3 puntos).
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PROBLEMA 3. Hallar las constantes reales a y b
para que |
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sea
una función continua para todo valor real
x (3,3 puntos).
PROBLEMA 4.1 La concentración en sangre de un fármaco después de
su toma es C(t) = - 0,29483 t + 0,04253 t2 – 0,00035 t3
mg/ml, donde t es el tiempo transcurrido en minutos. Se pide:
a)
Calcular el
periodo de tiempo durante el cual el fármaco actúa (1,8 puntos).
b)
Determinar en qué
instante la concentración del fármaco es máxima (1,5 puntos).
PROBLEMA 4.2. De una urna que contiene 6 bolas blancas y 4 bolas
negras se extraen bolas sucesivamente y sin devolución. Obtener razonadamente
cuántas bolas hay que extraer para que:
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a)
La probabilidad
de sacar al menos una bola blanca sea |
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(2,8 puntos). |
b) La probabilidad de sacar al menos una bola blanca sea 1 (0,5 puntos).