Matemáticas II Junio 2008
Características de
la prueba.
Se elegirán TRES
bloques y se hará un problema de cada uno de ellos.
Cada problema se
puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.
La suma de las
puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos o gráficos deben
estar debidamente justificados.
Bloque 1. ÁLGEBRA LINEAL.
|
Problema 1.1. Dado el sistema dependiente del
parámetro real |
|
, se pide: |
a) Determinar, razonadamente los valores de 
para los que el
sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3
puntos).
b) Resolver el sistema cuando es compatible
determinado. (1,3 puntos).
c) Obtener, razonadamente,
la solución del sistema cuando = 0. (0,7 puntos).
|
Problema 1.2. Sean I y A
las matrices cuadradas siguientes: |
|
. Se pide calcular, escribiendo |
explícitamente las operaciones necesarias:
a) Las matrices A2 y A3.
(1,8 puntos).
|
b) Los números reales |
|
para los que se verifica |
|
(1,8 puntos). |
Bloque 2. GEOMETRÍA.
|
Problema 2.1. Se dan los puntos A = ( 2 , 1
, 1 ) y B = ( 1 , 0 , – 1 ), y la recta r
de ecuación |
|
Se pide calcular razonadamente:
a) El punto C de r que equidista de A y B. (2
puntos).
b) El área del triángulo ABC. (1,3 puntos).
Problema 2.2. Dadas
la recta r, intersección de los planos
y + z = 0 y x – 2 y – 1 = 0, y la recta s de ecuación
 |
, se pide |
a) Obtener, razonadamente, las ecuaciones paramétricas
de r
y s. (1,1 puntos).
b) Explicar de un modo razonado cuál es la posición
relativa de las rectas r y s. (1,1 puntos).
c) Calcular la distancia
entre las rectas r y s. (1,1 puntos).
Bloque 3. ANÁLISIS.
.
a)
Calcular razonadamente el área de la región R. (1,5
puntos).
b)
Encontrar el valor de para que la recta 
divida la región R en
dos partes A (izquierda) y B (derecha)
tales que el área de A sea el doble que la de B. (1,8 puntos).
Problema 3.2. Se considera la función real f (x) = x2
– 4. Obtener, explicando el proceso de cálculo:
a) La gráfica de la
curva y = f(x). (2 puntos).
b) Los valores de x para
los que está definida la función real g(x)
= ln f(x). (1,3 puntos).
c)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(x), razonando si tiene, o no, máximo absoluto. (1,3 puntos).
Bloque 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Problema 4.1. Una empresa decide lanzar una campaña de propaganda de
uno de sus productos editando un texto que ocupa 18 cm2 en hojas
rectangulares impresas a una cara, con márgenes superior e inferior de 2 cm y
laterales de 1 cm. Se pide calcular, razonadamente, las dimensiones de la hoja
para las que el consumo de papel sea mínimo. (3,3 puntos).
Problema 4.2. Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La
base menor mide 20 cm y el lado oblicuo mide 40 cm. Hallar, razonadamente, el ángulo que debe formar el
lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima. (3,3
puntos).
Nota: Un trapecio rectangular es
un cuadrilátero con dos lados paralelos y en el que uno de los otros dos lados
es perpendicular a estos dos lados paralelos.