Matemáticas II Junio
2013
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Cada estudiante podrá disponer de
una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe
su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1. Se tiene el sistema de ecuaciones |
|
,donde a, b y c son tres |
números
reales. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La relación que deben verificar los números a, b y c para que el sistema sea
compatible. (4 puntos)
b) La solución del sistema cuando a =
– 1, b
= 2 y c =
3. (2
puntos)
c)
La solución del sistema cuando los números a, b y c verifican la relación a =
c = – 2 b. (4 puntos)
PROBLEMA A.2. Sean O =
(0,0,0), A = (1,0,1), B = (2,1,0) y C = (0,2,3). Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El área del triángulo de vértices O, A y
B, (3
puntos) y el volumen del tetraedro
de vértices O, A, B y C (2
puntos).
b)
La distancia del
vértice C al plano que contiene al triángulo OAB.
(3 puntos)
c)
La distancia del punto
C´ al
plano que contiene al triángulo OAB, siendo C´ el punto medio
del segmento de extremos O y C. (2
puntos)
PROBLEMA A.3. Se estudió el
movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la
ecuación de su trayectoria T
es y2 = 2 x + 9, siendo
–
4,5 ≤ x ≤ 8 e y ≥ 0, estando situado el Sol en
el punto (0,0). Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La distancia del
meteorito al Sol desde un punto P
de su trayectoria cuya abcisa es x.
(3 puntos)
b)
El punto
P de la trayectoria T donde el meteorito alcanza la distancia
mínima al Sol. (5 puntos)
c)
Distancia mínima
del meteorito al Sol. (2 puntos)
Nota. En los tres resultados sólo se dará la expresión algebraica o el valor
numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada
en el enunciado.
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1. Dadas las matrices |
|
y |
|
,
obtener |
razonadamente el valor de
los determinantes siguientes, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
PROBLEMA B.2. Dados los puntos A
= (1, 0, 1), B = (2, – 1 , 0), C =
(0, 1, 1) y P =
(0, – 3 , 2) se pide calcular razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La distancia del
punto P al A. (2
puntos)
b)
La distancia del
punto P a la recta que pasa por
los puntos A y B. (4
puntos)
c)
La distancia del
punto P al plano que pasa por los
puntos A, B y C. (4
puntos)
PROBLEMA B.3. Dada la
función f definida por f(x) =
sen x, para cualquier valor real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento
utilizado:
a)
La ecuación de la
recta tangente a la curva y = f(x)
en el punto de abcisa x = π/6.
(4 puntos)
b)
La ecuación de la
recta normal a la curva y = f(x)
en el punto de abcisa x = π/3. Se recuerda que la recta
normal a una curva en un punto P
es la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a la recta
tangente a la curva en el punto P.
(3 puntos)
c)
El ángulo formado
por las rectas determinadas en los apartados
a) y b). (3 puntos)