Matemáticas II Junio
2017
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se permite el uso de calculadoras siempre
que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico
ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los
resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente
justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1. Se da el sistema de ecuaciones |
|
dependiente
del parámetro real a. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La solución del sistema cuando a =
2. (4
puntos)
b) Los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado.
(3
puntos)
c)
El valor del parámetro
a para el que el sistema es compatible e
indeterminado
y obtener todas las soluciones del sistema para ese
valor de a. (2 + 2 puntos)
PROBLEMA A.2.
Se dan el punto P = ( 1 , 1 , 1 ), la
recta |
|
y el plano |
π:
x + y + z = 1 Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las
ecuaciones de:
a)
El plano que
contiene al punto P y a la recta a r. (2
puntos)
b)
La recta s que pasa por el punto P y es
perpendicular al plano π , la distancia
del punto P al plano
π y el punto de intersección
de la recta s con el plano π. (2+2+2 puntos)
c)
El plano s que contiene a
la recta r y es perpendicular al
plano π. (2
puntos)
PROBLEMA A.3. Se desea unir un punto M situado en un lado de una
calle, de 6 m. de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle,
18 m. más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado
al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se
representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que
M = (0, 6) , P = (x, 0) y N = (18, 0) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que
cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio
del cable PN es de 5 €/m.
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El costo total C de los dos cables en función de la abcisa x del punto P,
cuando 0 £ x £ 18. (3 puntos)
b)
El valor de x, con
0 £ x £ 18, para el que el costo total
C es mínimo. (4 puntos)
c)
El valor de dicho
costo total mínimo. (3 puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
a)
La comprobación de que C2 =
2 C – I, siendo |
|
e I la matriz |
identidad
de orden 3 x 3, |
(2,5 puntos) |
|
y
el valor de la matriz C4. |
(2,5 puntos) |
|
b)
El valor del
determinante de la matriz , sabiendo que
A es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo
determinante vale – 1. (3
puntos)
c)
La matriz B
que admite inversa y que verifica la igualdad B B = B. (2 puntos)
PROBLEMA B.2. Sea T un tetraedro de vértices O = (0,0,0), A = (1,1,1), B = (3,0,0) y
C = (0,3,0).
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La
ecuación del plano
π que contiene a los puntos
A, B y C, (1 punto)
y las ecuaciones
de la recta h0 perpendicular a π
que pasa por O. (2
puntos)
b)
El punto de
intersección de la altura h0 y el plano
π. (3 puntos)
c)
El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, (2
puntos)
y el volumen del tetraedro T. (2 puntos)
PROBLEMA B.3.
Dada la función f definida por |
|
, para cualquier valor real |
x ¹ 0, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento
utilizado:
a)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
f,
(2 puntos)
y los extremos relativos de la función f. (1
punto)
b) Las asíntotas de la curva y =
f(x). (3
puntos)
c)
El área de la región plana limitada por la curva |
|
el
segmento que une los puntos (1,0) y (e,0),
y las rectas x = 1 y x = e. (4
puntos)