Matemáticas II Septiembre 2002
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos.
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Dadas
las matrices reales:
se pide :
a)
Calcular la matriz
M = A – 2 B C . (1 punto)
b)
Justificar que existe la matriz D-1
inversa de D y calcular tal matriz. (0,9
puntos)
c)
Calcular las matrices
X, Y que cumplen
D X = M = Y D. (1,4
puntos)
PROBLEMA 2. Las tallas de los ciudadanos adultos de una gran
ciudad siguen una distribución normal de media 1,70 y desviación típica 0,20.
a)
Se selecciona al azar un ciudadano. Averigua razonadamente cuál es la
probabilidad de que su talla sea superior a 1,95. (1,5 puntos)
b)
Se selecciona al azar otro ciudadano entre los de talla superior a 1,65.
Averigua razonadamente cuál es la probabilidad de que su talla sea superior a
1,95. (1,8 puntos)
PROBLEMA 3. Consideramos
los planos
donde 
es un parámetro real.
Se pide:
a) Determinar las ecuaciones
parámetricas de la recta de intersección de los planos 
y 
cuando 
. (1,5 puntos)
b) Calcular razonadamente para que los planos y se corten formando un
ángulo de 45º. (1,8 puntos)
PROBLEMA 4. Sea f(x) = x3
+ a x2 + b x + c. Hallar a,
b, c sabiendo que f alcanza un
máximo es x = - 4 y un mínimo en x = 0
y que f(1) = 1.
EJERCICIO B
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PROBLEMA 1.
Dado el sistema de ecuaciones lineales: |
|
, dependiente del parámetro
|
i)
Determinar para
qué valores de el sistema es
compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos)
ii)
Obtener el
conjunto S de las soluciones del sistema para el caso
compatible indeterminado. (1 punto)
iii)
Obtener el vector
de S ortogonal (perpendicular) al vector (1,1,2). (1 punto)
PROBLEMA 2. Dado el plano definido por la ecuación 
hallar
a)
La ecuación de la recta perpendicular al plano 
que pasa por el punto P(1,-3,7), expresada
como la intersección de dos planos. (1
punto)
b)
La distancia del punto P al plano . (0,8 puntos)
c)
Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano . (1,5 puntos)
PROBLEMA 3. Un agente comercial consigue, por término medio,
vender sus productos al 40% de los clientes que visita. Selecciona al azar
cinco de sus clientes para visitarlos cierto día. Averigua razonadamente:
a)
La probabilidad de que no venda sus productos a ninguno de esos cinco clientes.
(1,1
puntos)
b)
La probabilidad de que venda sus productos sólo a dos de esos cinco clientes. (1,1
puntos)
c)
La probabilidad de que venda sus productos sólo a cuatro de esos cinco
clientes. (1,1 puntos)
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PROBLEMA 4. Calcular, razonadamente, el área de la región
limitada por las curvas y = x2 e |
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