Matemáticas II Septiembre 2009
Características de
la prueba.
Se elegirán TRES
bloques y se hará un problema de cada uno de ellos.
Cada problema se
puntuará de 0 a 3,3, según la puntuación máxima de cada apartado.
La suma de las
puntuaciones más 0,1 será la calificación de la prueba.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos o gráficos deben
estar debidamente justificados.
Bloque 1. ÁLGEBRA LINEAL.
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Problema 1.1. Dada la matriz |
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, se pide: |
a)
Calcular, en función de α, el determinante de la matriz A(α
), escribiendo los cálculos necesarios. (1,3 puntos).
b) Determinar, razonadamente, los números reales α para los que el determinante de la
matriz inversa de A(α) es igual a 1/66. (2 puntos).
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Problema 1.2. Dado el sistema de ecuaciones lineales |
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, se pide: |
a)
Deducir,
razonadamente, para qué valores de α el sistema sólo admite la solución (x,
y, z) = (0,0,0). (1,5 puntos).
b)
Resolver,
razonadamente, el sistema para el valor de α que lo hace indeterminado. (1,8 puntos).
Bloque 2. GEOMETRÍA.
Problema 2.1. Dados
los puntos P = (3, – 1, 4) y Q = (1, 0, – 1) , y el plano π de
ecuación π: x – 2 y + 2 z + 5 = 0,
se pide calcular razonadamente:
a)
La ecuación de la recta r que pasa por el punto
P y es perpendicular al plano π. (1,4 puntos).
b) La ecuación de los planos que pasan por el punto P y
son perpendiculares al plano π. (1 punto).
c)
La ecuación del plano π' que pasa por los puntos P
y Q y es perpendicular al plano π. (0,9 puntos).
Problema 2.2. Sea
π el plano de ecuación π: 3 x
+ 2 y + 4 z – 12 = 0, se pide calcular razonadamente:
a)
Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π
que distan 5 unidades de π. (1,2 puntos).
b) Los tres puntos A, B y C, intersección
del plano π con cada uno de los tres ejes coordenados. (0,6 puntos).
c)
Los tres ángulos
del triángulo ABC. (1,5 puntos).
Bloque 3. ANÁLISIS.
Problema 3.1. Se
consideran las funciones reales f(x) =
2 x2 + 12 x – 6 y g(x) = ( x – 2 ) ( x2 + 9 ). Se pide obtener
razonadamente:
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a) Las ecuaciones
de las asíntotas a la gráfica de la función |
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(1,6 puntos). |
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b) La
función |
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que cumple |
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(1,7 puntos). |
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Problema 3.2. Dada la función real |
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, se pide calcular razonadamente: |
a)
Las derivadas primera y segunda de la función f (x). (0,8 puntos).
b)
Los puntos de inflexión de la curva y = f (x). (1 punto).
Bloque 4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Problema 4.1. A las 7 de la mañana, una lancha A está situada
a 150 km al este de otra lancha B. La lancha A navega hacia el
oeste a una velocidad constante de 40 km/h y la lancha B se dirige hacia
el norte a 30 km/h. Si se mantienen estos rumbos, averiguar razonadamente a qué
hora estarán ambas lanchas a distancia mínima. (3,3 puntos).
Problema 4.2. Una lámina metálica rectangular se dilata
uniformemente por calentamiento, aumentando su base y su altura 0,2 mm por
minuto. Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina
cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, 8 y 6 cm. (3,3
puntos).