Matemáticas II Junio
2015
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo
UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa
opción.
Cada problema se puntuará hasta 10
puntos.
La calificación del ejercicio será
la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a
las centésimas.
Se
permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y
que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en
memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y
gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1.
Se dan las matrices |
|
|
Obtener
razonadamente, escribiendo todos los pasos del
razonamiento utilizado:
a)
La matriz inversa
de la matriz A. (2 puntos)
b)
Las matrices X e Y
de orden 2 x 2 tales que X A = B y A Y
= B. (2 + 2 puntos)
c)
Justificar razonadamente que si M
una matriz cuadrada tal que M 2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden
que M, entonces se verifica la
igualdad M 3= M 7. (4 puntos)
PROBLEMA A.2. Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La ecuación del plano π
que pasa por el punto P (2 , 0, 1) y es perpendicular a la
recta |
|
(3 puntos) |
b)
Las coordenadas
del punto Q situado en la intersección
de la recta r y del plano π . (2 puntos)
c)
La distancia del punto
P a la recta
r (3 puntos) y justificar razonadamente que la
distancia del punto P a un punto
cualquiera de la recta r es mayor o
igual que
|
(2 puntos) |
PROBLEMA A.3. Obtener razonadamente, escribiendo todos
los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función
real f definida por
f(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ),
siendo x un número real. (3
puntos)
b) El área del recinto
acotado limitado entre las curvas y = (
x – 1 ) ( x – 3 ) e y = – ( x – 1 ) ( x – 3 ). (4
puntos)
c)
El valor positivo
de a para el cual el área limitada entre la
curva y = a ( x – 1 ) ( x – 3 ), el eje Y y el
segmento que une los puntos (0, 0) y (1,
0) es 4/3. (3
puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1. Dado el sistema de ecuaciones |
|
Donde a es un parámetro
real. Obtener razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
Todas las soluciones del sistema cuando a = 1. (3 puntos)
b) La justificación
razonada de si el sistema es
compatible o incompatible cuando a =
2. (3
puntos)
c)
Los valores de a para los que
el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)
PROBLEMA B.2.
Se dan las rectas |
|
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
El plano paralelo
a la recta s que contiene a la recta r. (3
puntos)
b)
La recta t que pasa por el punto (0, 0, 0), sabiendo que un vector director
de t es perpendicular a un vector director de r y también es perpendicular a un vector
director de s. (3 puntos)
c)
Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a s que contenga a la recta r. (4
puntos)
PROBLEMA B.3. Un pueblo está
situado en el punto A (0, 4) de un sistema de referencia cartesiano. El tramo
de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva
|
siendo –
6 ≤ x ≤ 6. |
Obtener
razonadamente, escribiendo
todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)
La distancia
entre un punto P (x, y) del río y el pueblo
en función de la abcisa x
de P. (2 puntos)
b)
El punto o puntos
del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo. (4
puntos)
c)
El punto o puntos
del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo. (4
puntos)