Página de inicio.

Matemáticas II              Junio 2015

 

BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.

Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas.

Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

 

OPCIÓN A

 

PROBLEMA A.1. Se dan las matrices   

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    La matriz inversa de la matriz  A.  (2 puntos)

b)    Las matrices  X  e  Y  de orden  2 x 2 tales que  X A = B  y  A Y = B.  (2 + 2 puntos)

c)     Justificar razonadamente que si  M  una matriz cuadrada tal que M 2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad   M 3= M 7.   (4 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA A.2. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     La  ecuación  del  plano   π   que pasa  por  el  punto  P (2 , 0, 1)   y  es perpendicular  a la

recta   

   (3 puntos)

b)    Las coordenadas del punto  Q  situado en la intersección de la recta   r   y del plano  π . (2 puntos)

c)     La distancia del punto  P  a la recta  r (3 puntos)  y justificar razonadamente que la distancia  del  punto   P   a  un  punto  cualquiera  de  la  recta   r   es  mayor  o  igual  que

(2 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA A.3.  Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     Los  intervalos  de  crecimiento y de decrecimiento de la función real  f   definida por  f(x) = ( x – 1 ) ( x – 3 ), siendo  x  un número real.  (3 puntos)

b)    El    área   del   recinto   acotado    limitado   entre   las  curvas   y = ( x 1 ) ( x 3 )   e  y = ( x 1 ) ( x 3 ).  (4 puntos)

c)     El valor positivo de  a  para el cual el área limitada entre la curva  y = a ( x 1 ) ( x 3 ), el eje  Y   y  el segmento que une los puntos  (0, 0)  y  (1, 0)  es 4/3.  (3 puntos)

        Solución

 

 

OPCIÓN B

 

PROBLEMA B.1. Dado el sistema de ecuaciones

 

Donde  a  es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)     Todas las soluciones del sistema cuando  a = 1.  (3 puntos)

b)    La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando  a = 2.   (3 puntos)

c)     Los valores de  a   para los que el sistema es compatible y determinado.  (4 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA B.2. Se dan las rectas   

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    El plano paralelo a la recta  s  que contiene a la recta  r.  (3 puntos)

b)    La recta  t  que pasa por el punto  (0, 0, 0), sabiendo que un vector director de  t  es perpendicular a un vector director de  r  y también es perpendicular a un vector director de  s.  (3 puntos)

c)     Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a  s  que contenga a la recta  r.  (4 puntos)

        Solución

 

 

PROBLEMA B.3.  Un pueblo está situado en el punto A (0, 4) de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva

siendo   6 ≤ x ≤ 6.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)    La distancia entre un punto  P (x, y)  del río y el pueblo en función de la abcisa  x  de P.  (2 puntos)

b)    El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo.  (4 puntos)

c)     El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo.  (4 puntos)

        Solución

 

Página de inicio.