Matemáticas II Septiembre 2004
Características de
la prueba.
Se ofertarán a los
alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos ejercicios
propondrá la resolución de cuatro problemas. Los alumnos tendrán que elegir
tres de entre los cuatro propuestos. EN NINGÚN CASO SE PODRÁ ELEGIR
SIMULTÁNEAMENTE EL PROBLEMA 4.1 Y EL PROBLEMA 4.2
Independientemente
del ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá
por igual a la calificación del ejercicio.
Cada estudiante
deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
PROBLEMA 1. Obtener todos los valores reales x, y, z, t para los
que se verifica A X = X A, siendo
|
X
= |
|
y A = |
|
(3,3 puntos). |
PROBLEMA 2. a) Obtener el plano que pasa por el punto P(-2,4,-3)
y es perpendicular a la recta r:(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,-2,1)
(1 punto ).
b)
Calcular la distancia entre el punto
P y la recta r (2,3 puntos).
PROBLEMA 3. Sea f(x) = x2 + m x (donde
m es un parámetro real) y f´(x) la función derivada de f(x). Se pide:
a) Hallar el valor del
parámetro m para que
f(x) tenga un mínimo relativo en
x = -3/4 (1,5 puntos).
b) Para el valor de m
calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la
curva y = f(x) y la recta de ecuación y
= f´(x) (1,8
puntos).
PROBLEMA 4.1. a) Se tiene inicialmente 10 bacterias en un cultivo
de laboratorio y cada día se duplican. Averigua, razonadamente, el número de
bacterias que habrá cuando hayan transcurrido 10 días (1
punto).
b)
Para otro cultivo, sea P(t) el número de bacterias transcurrido el
tiempo t
medido en días. Averigua el aumento del número de bacterias al cabo de
10 días, sabiendo que P(0)=500, P(3)=1100 y que la derivada P´(t)
es constante para 0≤ t ≤ 10 (2,3
puntos).
PROBLEMA 4.2. Durante 6 años consecutivos, la producción
industrial x de una empresa, medida en toneladas métricas,
fue: 110, 125, 130, 140, 150 y 155, mientras que las compras efectuadas, expresadas
en millones de euros, fueron: 30, 41, 43, 47, 50 y 55. Se pide:
a)
Representar los 6 puntos (x,y)
(es decir, (110,30), (125,41), (130,43), (140,47), (150,50) y (155, 55) en unos
ejes OXY y dibujar aproximadamente la recta de regresión de y sobre x. Sobre
esta recta, obtener ahora gráficamente la predicción de compras a efectuar para
una producción industrial de 160 toneladas métricas (1,3 puntos).
b)
Explicar cómo se ha hecho el dibujo de la recta y la predicción (1 punto).
c)
Razonar si se puede predecir o no las compras para una producción de 400 toneladas
métricas (1 punto).
EJERCICIO B
|
PROBLEMA 1. Para las matrices
reales: |
|
,
se pide: |
a)
Justificar que existe la matriz A-1,
inversa de A, y calcular el determinante de A-1 (1,2 puntos).
b)
Calcula la matriz
B = A ( A + 4 I ) (0,7 puntos).
c)
Determinar los números reales x, y, z, t
que cumplen A-1 = x A
+ y I, A2 = z A + t I (1,4 puntos)
PROBLEMA 2. Consideramos los puntos: A = (1, 0, 0), B = (0,1,0), C = (0,0,1) y D = (2,1,2). Se pide
a)
Hallar el área
del triángulo de vértices B, C y D (1,1 puntos).
b)
Calcular el
volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D (1,1
puntos).
c)
Hallar la
distancia del punto A al plano que pasa por los puntos B, C y D (1,1
puntos).
|
PROBLEMA 3. a) Obtener razonadamente la siguiente integral |
|
(2,3 puntos). |
|
b) Aplicando la regla de Barrow,
calcular |
|
(1 punto). |
PROBLEMA 4.1. Determinar razonadamente la longitud del lado del
cuadrado de área mínima cuyos vértices están situados sobre los lados de otro
cuadrado de lado 16 cm (3,3 puntos).
PROBLEMA 4.2. Una urna contiene 6 bolas blancas y 4 bolas negras. Se repite tres veces la siguiente operación: extraer una bola al azar, anotar su color y devolverla a la urna. Determinar la probabilidad de extraer más de una bola negra (2,3 puntos). Explicar en qué se fundamenta la probabilidad obtenida (1 punto).