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Matemáticas II Julio 2013

BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.

Cada problema se puntuará hasta 10 puntos.

La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas.

Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).

Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.

OPCIÓN A

PROBLEMA A.1. Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que:

a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo, es decir que
A B = B A, entonces se deduce que A² B² = (A B)². (2 puntos).

b) Que la matriz

satisface la relación A^2 – 3 A + 2 I = O, siendo I y O,

respectivamente, las matrices de orden 3x3 unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz A tal que A² – 3 A + 2 I = O tiene matriz inversa. (2 puntos).

c) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores α y β tales que A³ = α A + β I, sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A² – 3 A + 2 I = O. (2 puntos).

Solución

PROBLEMA A.2. Se dan las rectas

,siendo α y β

parametros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Unas ecuaciones implícitas de r₁. (2 puntos).

b) La justificación de que las rectas r₁ y r₂ están contenidas en un plano π, (2 puntos) y la ecuación de ese plano π, (2 puntos).

c) El área del triángulo de vértices P, Q y R, siendo P = ( – 1 , 0, 1 ), Q = ( 0, 1, 2 ) y R el punto de intersección de r₁ y r₂. (4 puntos).

Solución

PROBLEMA A.3. Se dan las funciones

. Obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Las derivadas de f(x) y g(x). (4 puntos).

b) Los dominios de definición de las funciones f(x) y g(x). (3 puntos).

c) La expresión simplificada de la función f(x) + g(x), (1´5 puntos), y el recorrido de esta función f(x) + g(x). (1´5 puntos).

Solución

OPCIÓN B

PROBLEMA B.1. Se da el sistema de ecuaciones

, donde α es un paráme-

tro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Todas las soluciones del sistema cuando α = 7. (4 puntos).

b) Los valores de α para los que el sistema es compatible indeterminado. (3 puntos).

c) Los valores de α para los que el sistema es compatible determinado. (3 puntos).

Solución

PROBLEMA B.2. Se dan las rectas

. Obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Un punto y un vector director de cada una de las dos rectas. (3 puntos).

b) La distancia entre las rectas r y s, (2 puntos), justificando que las rectas r y s se cruzan. (2 puntos).

c) Obtener unas ecuaciones de la recta t que pasa por el punto

y es per-

pendicular a las rectas r y s. (3 puntos).

Solución

PROBLEMA B.3. En el plano XY está dibujada una parcela A cuyos límites son dos calles de ecuaciones x = 0 y x = 40, respectivamente, una carretera de ecuación y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación

, con 0 ≤ x ≤ 40, siendo positivo el signo de la raíz cuadrada.

Se pretende urbanizar un rectángulo R inscrito en la parcela A, de manera que los vértices de R sean los puntos ( x , 0 ), ( x, f(x) ), ( 40, f(x) ) y ( 40, 0 ).

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El área de la parcela A. (3 puntos).

b) Los vértices del rectángulo R al que corresponde área máxima. (5 puntos).

c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos).

Solución

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