Matemáticas II Junio
2010
BAREMO DEL EXAMEN: Se
elegirá sólo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres
problemas de esa opción.
Cada problema se
puntuará hasta 10 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3
y aproximada a las centésimas.
Cada estudiante podrá
disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del
examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Se utilice o no la
calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre
debidamente justificados.
OPCIÓN A
PROBLEMA A.1. Dadas las matrices cuadradas
a)
Calcular las
matrices ( A – I )2 y A
( A – 2 I ). (4 puntos)
b)
Justificar
razonadamente que
b.1) Existen
las matrices inversas de las matrices
A y A – 2 I.
(2 puntos)
b.2) No existe
la matriz inversa de la matriz A –
I. (2
puntos)
c)
Determinar el
valor del parámetro real λ para el que se verifica que A-1 = λ ( A – 2 I ). (2
puntos)
PROBLEMA A.2. Dadas las rectas de ecuaciones
se
pide:
a)
Justificar que
las rectas r y
s se cruzan. (4
puntos)
b)
Calcular
razonadamente la distancia entre las rectas
r y s. (3 puntos)
c)
Determinar la
ecuación del plano π que es paralelo y equidistante a las
rectas r
y s. (3
puntos)
PROBLEMA A.3. Se quiere
construir un estadio vallado de 10000 metros cuadrados de superficie. El estadio
está formado por un rectángulo de base
x y dos semicírculos exteriores
de diámetro x, de manera que cada lado
horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de
un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 euro y el
precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 2 euros. Se pide
obtener razonadamente:
a)
La longitud del
perímetro del campo en función de
x. (3 puntos)
b)
El coste f(x)
de la valla en función de x. (3
puntos)
c)
El valor de x para
el que el coste de la valla es mínimo. (4 puntos)
OPCIÓN B
PROBLEMA B.1. Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de
los parámetros a, b y c
se
pide:
a)
Justificar
razonadamente que para los valores de los parámetros a = 0,
b = – 1 y c = 2
el sistema es incompatible. (3 puntos)
b)
Determinar
razonadamente los valores de los parámetros
a, b y
c, para los que se verifica que
( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) es solución
del sistema. (4 puntos)
c)
Justificar si la
solución ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) del
sistema del apartado b) es, o no, única.
(3 puntos)
PROBLEMA B.2. Sea r la recta de vector director ( 2, – 1 , 1 ) que pasa por el punto P = (
0, 3, – 1 ). Se pide:
a)
Hallar razonadamente
la distancia del punto A = ( 0, 1, 0 ) a
la recta r. (4
puntos)
b)
Calcular
razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos P y A
con la recta r en el punto
P. (4 puntos)
c)
Si Q es el punto
donde la recta r corta al plano de ecuación z = 0, comprobar que el triángulo de vértices
APQ tiene ángulos iguales en los vértices
P y Q. (2 puntos)
PROBLEMA B.3. Dada la
función polinómica f(x) = 4 – x2
, se pide obtener razonadamente:
a)
La gráfica de la
curva y = 4 – x2 . (2 puntos)
b)
El punto P de esa
curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación x + y = 0.
(3 puntos)
c)
Las rectas que pasan
por el punto ( – 2, 1) y son tangentes a la curva y = 4 – x2, obteniendo los puntos de tangencia. (5
puntos)