Matemáticas II Junio
2026 extra
BAREMO DEL EXAMEN: Cada
problema se puntuará hasta 2,5 puntos.
La calificación del
ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema.
Se permite el uso de
calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan
realizar cálculos simbólicos ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se
utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos
deberán estar siempre debidamente justificados.
A partir de la
tercera falta de ortografía se deducirán -0,10 puntos hasta un máximo de un
punto.
Por errores en la
redacción, en la presentación, falta de coherencia, falta de cohesión,
incorrección léxica e incorrección gramatical se podrá deducir un máximo de
medio punto.
En las
respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.
PREGUNTA 1: PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA (2,5 puntos)
Durante la semana cultural
de un centro docente, el Departamento de Matemáticas organiza un juego de azar
por rondas en el que los alumnos pueden obtener puntos canjeables por pequeños
premios. En cada ronda se lanza primero una moneda y, a continuación, un dado
de seis caras. El resultado de la moneda combinado con el valor obtenido por el
dado determina la condición para ganar la ronda:
·
Si la moneda sale
cara, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es mayor o igual
que 5.
·
Si la moneda sale
cruz, el alumno gana la ronda si el número obtenido en el dado es par.
Cada ronda es independiente
y sigue exactamente este mismo procedimiento. Se pide:
Responda a todos los
apartados
1.1 (0.5
puntos) Calcular la probabilidad de que, en una ronda cualquiera, el alumno
gane.
1.2 (1
punto) Sabiendo que en una ronda el alumno ha ganado, ¿cuál es la
probabilidad de que en el lanzamiento de la moneda haya salido cara?
1.3 (1 punto) Si se utiliza una moneda
trucada tal que al lanzarla siempre se obtiene cara, y se realizan exactamente
7 rondas del juego, calcular la probabilidad de que el alumno gane exactamente 5 veces.
PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2,5 puntos)
Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2
2.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales
Se pide:
2.1.1 (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real a.
2.1.2 (1.5 puntos) Encontrar la solución del
sistema cuando este sea compatible.
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2.2 Una
entidad financiera utiliza modelos matriciales para simular el riesgo de una
cartera de inversión compuesta por dos tipos de activos. La matriz de
simulación es
donde a es un parámetro real de ajuste que refleja
la volatilidad histórica del mercado.
2.2.1
(1 punto) El riesgo optimo se
obtiene cuando se verifica la ecuación A2
– I = 2 A, donde
|
|
Determinar para qué
valores de a se optimiza el riesgo. |
2.2.2 (1.5 puntos) En determinadas condiciones de mercado,
resulta conveniente invertir la simulación deshaciendo los cálculos previamente
realizados. Para ello se necesita que la matriz de simulación admita inversa.
Obtener los valores de a para los
cuales se cumple esta última condición y calcular la inversa de la matriz de
simulación en función del parámetro a.
PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)
Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2
|
3.1 Sean las rectas
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Se pide: |
3.1.1 (1 punto) Estudiar,
según el valor de a, la posición relativa de
las dos rectas.
3.1.2 (1 punto) Calcular,
si es posible, el valor de a
para que las rectas se corten y, en ese caso, encontrar el punto de
corte P.
3.1.3 (0.5 puntos) Calcular
la distancia entre el origen de coordenadas
y P.
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3.2 Dado el plano
|
|
se pide: |
3.2.1 (1.25 puntos) Obtener la ecuación del
plano p1 perpendicular a
p y que contiene
a r.
3.2.2 (1.25 puntos) Calcular, si existe, un
plano p2 paralelo a p que contenga a
r.
PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)
Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2
4.1 Consideramos la función real de variable real f(x) = ½2 x2 – 3½ para – 1 £ x £ 5. Se pide:
4.1.1 (0.75 puntos) Hallar
los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f en el intervalo [−1,5].
4.1.2
(0.5 puntos) Calcular los valores
máximos y mínimos absolutos de la función f
en el intervalo [−1,5].
4.1.3 (0.25 puntos) Representar la función f.
4.1.3 (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y =
f(x), y las rectas x =
– 1, x
= 5 e
y = 0.
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4.2 Un
comedero para animales tiene forma de semicilindro hueco abierto por la parte
superior. Está construido con chapa metálica delgada. Los extremos semicirculares
tienen radio r medido en cm y la
longitud del comedero es de L cm. El área total del semicilindro
(incluyendo el área lateral curva y el área de las paredes semicirculares) es
de 600
p cm2.
Se pide:
4.2.1 (1 punto) Encontrar la función que
describe el volumen del comedero en función del radio r.
4.2.2 (1.5 puntos) Encontrar el radio r y la longitud
L que maximizan el volumen del comedero y
calcular dicho volumen.